ゼルコバの木テント村

2023年度のAMSカレンダー問題のポイントをまとめた．コメント数が30件を超えるものを対象とし，キーワードなどを拾い出してみた．全部で２３本，それと別に黒木氏が投稿したスレッドから７本をピックアップした．（加納正司氏の投稿に関わるトピックスもあるが，未整理，物理関係は拾わなかった）トピックスは多岐に渡っているが，時間経過とともに発展してきたものもあり，どのような課題が残っているのかを把握しておきたい．一番分かりやすいのは，未解決の命題の形で定式化しておくことではないだろうか？ともかく，懸案項目を列挙してみよう．

1. #016　複素数のべき⇒複素回転，複素反転
2. #047　３次複素方程式の根⇒複素数根の視覚化
3. ※188　FK:2023/02/26　一関市博物館「和算に挑戦」平行線の公理，実験数学，和算三平方の定理，界斜の可動範囲，アルキメデスの楕円コンパス，楕円族の包絡線（アステロイド）図，宿題Ⅲ：楕円コンパス線が楕円の接線になっていること，その接点が包絡線上の点であることが言えればよい
4. #081　コンウェイの定理⇒応用問題Ⅳ：任意の三角形の頂点を各底辺と平行な線で切り取って得られる六角形をここではコンウェイ六角形と呼ぶ．コンウェイ六角形の頂点が一つの円を共有する，つまり共円となるための条件を示せ．この問題はNahmの三角形にも通じる．
5. #093　べき乗剰余⇒べき乗剰余数列の周期性，初項・０項・１項の出現と周期，オイラーの定理の拡張「ある正整数 α が存在し，a^α ≡ 1 mod n となることと，a と n が互いに素であることは同値」
6. ※103　FK:2023/05/04　京都大学の後期試験問題命題：p を任意の素数，n を任意の正整数とする．1～p の n 乗（p 個の整数）の和を p で除したときの剰余を R(p, n) とすると，R(p, n) = { Σ{k=1→p} k^n } mod p．このとき，R(p, n) = p – 1 if (n mod p – 1 ≡ 0) else R(p, n) = 0，べき乗和剰余数列の周期が p-1 であることの証明，べき乗和剰余列の類別，べき剰余マトリックスの縦数列，横数列の性質：①周期性，②回文性，③異種文字数　　
7. #186　ネストした多重根号式⇒べき等が関係するのではないかという予想，べき剰余数列にも関係する，落伍項　⇒　ラマヌージャンの問題他
8. #234　列車A,B,C　確率論，面積積分
9. ※59　FK:2023/09/15　S3の置換 に3次正方行列(要素(0,1)の置換行列を対応させる，行列に置換を作用させる，置換行列の行列式は対応する置換の符号に等しい，一般線形群，交差しない閉路の集合であるようなグラフ　
10. #269　３元１次連立方程式⇒逆行列を左から掛ける
11. #272　無向グラフの半径⇒フロイド・ライプネッツのアルゴリズム，フロイド・ワーシャル法
12. ※48　FK:2023/10/01　今日はNHKのまわし者　確率論，モンティ・ホール問題，マリリン・サヴァントの解，ねじれの位置，非ユークリッド幾何学，コラッツ予想，数論が崩れる，光の木
13. #283　交代群A5の極大部分群の位数⇒ドミノ・アルゴリズム（すべての部分群を高速生成）群とタイル貼りの関係，極大部分群の取り出し
14. ※50　FK:2023/11/05　対称群Snの共役について　τ^(-1)=[[τ(1),τ(2),…,τ(n)][1,2,…,n]]　産まれたときから婚約者が決まっている，有限性の檻，任意の群において元の置換表現を割り出すことは可能か？，「有限単純群分類」の終了宣言（1980年初め），極大部分群の共通部分（フラッティーニ部分群）
15. ※43　FK:2023/11/10 対称群Snの共役について(再)　フロック（部分群を構成する場合に不可分な元の集合），アリアドネの糸巻き　素群，素数位数の群
16. #331　三角形の周長⇒ナムの課題，ナムの課題の拡張

ナムの三角形に関係して投稿したスレッドが出てきていない．これらを落とすことはできない… AMSのカレンダー問題とは独立だが，拾い出しておこう．とりあえず，３本ある．

1. 2023/12/07 ※136 初等幾何の問題です．三角形ABCとそれに交叉する円があり　⇒　ナムの第一三角形，ナムの第二三角形，パスカルの定理とブリアンションの定理，GeoGebra，ブライケンリッジ・マクローリンの定理，60本のパスカル線，60個のカークマン点，20個のシュタイナー点，20本のケーリー線，15個のソロモン点，15本のプラッカー線，米澤晋吾の神図，pencil，射影幾何学，Perfect Pacal Mysticum Points，コンウェイのThe Pascal Mysticum Demystified，Desargues, Pascal and Kirkman（対称群S6と六芒星図）https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6934878979960526/
2. 2023/12/15 ※３　米澤晋吾氏作成の神図（神秘のM点図）パスカルの神秘なる六芒星図　　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6934878979960526/
3. 2023/12/16 ※10 射影幾何：大学初年級の授業で最初につまづいたところ．　連比，斉次座標　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6932400156875075/

大体これで出揃ったのではないだろうか？当面の方針・課題をピックアップしてみる．

1. パスカルの六芒星図に出てくる60本のパスカル線，60個のカークマン点，20個のシュタイナー点，20本のケーリー線，15個のソロモン点，15本のプラッカー線を確認する
2. GeoGebraでナムの三角形が圏外でも描画できるように改作する
3. トリプル三角形の神秘点図（パスカルの定理の拡張）を証明する
4. オイラーの定理の拡張「ある正整数 α が存在し，a^α ≡ 1 mod n となることと，a と n が互いに素であることは同値である」を証明する
5. 複素数のべき⇒複素回転，複素反転の概念を確立する
6. ３D描画ツール・アニメツールを使いこなす
7. 楕円族（２次曲線）の包絡線図を研究する　⇒　「平面上の６本の直線で区切られた領域の最大個数問題」
8. コンウェイの６角形はパスカルの６角形とどこかで結びつくか？コンウェイのフリーズパターンとべき剰余マトリックスの周期性
9. 確率論を掘り下げる：面積積分・重積分
10. 群とタイル貼りの関係，ドミノ・アルゴリズム
11. べき乗和剰余数列の周期・類別，べき剰余マトリックスの縦数列，横数列の性質：①周期性，②回文性，③異種文字数⇒久留島喜内の道具箱
12. 極大部分群・素群概念の確立・素群分解⇒アリアドネの糸巻き
13. ハミルトン閉路問題の多項式時間アルゴリズム：floyd leibniz algorithm，フロイド・ワーシャル法⇒アリアドネの糸巻き
14. コラッツ予想問題の最終解決⇒コラッツ銀河高速道路

一つ見落としがあった．2023/04/22 #112に「平面上の６本の直線で区切られた領域の最大個数という問題」というのがあり，これらの直線がある種の包絡線を構成している．この構成では２次曲線にはまったく言及されていない．この意味ではパスカルの六芒星図の大幅な拡張（ないし特殊例）とみなすこともできる．この問題はオイラーの多面体定理を用いて解いている．包絡線とは「二直線の交点を他の直線と共有しないような図式」であり，「二直線の交点が他の直線と共有されない」ということは，この図面がある種の「界面」つまり，IF (interface) を表していることを意味する．

カーマイケル数はオイラーの定理の拡張とは関わりがない．

1. #010 ※35　三角関数の入った２次の分数式の積分　arctanの微分が出てくる，黒木氏がWolframなどを活用して完璧な解を提出
2. #016 ※41　複素数のべき　複素数の積は偏角の和，LibreOfficeを使った数式入力，オイラーの公式，オイラーの等式，黒木氏による複素反転(z%=-z*)の発見 複素数z=a+bi，zの複素共役a-bi=z*とする．複素平面の原点を通り実軸となす角度がθであるような直線φに対し，zの対称点となる点をzΦとする．このとき，α=cosθ+isinθとして，zΦ=(z*)α^2である（複素回転）．θ=0，α^2=1のとき，zΦはzの複素共役z*である．z*の符号を反転したものをz%と表記し，z%=-z*をzの複素対称と呼ぶ．θ=π/2のとき，zΦは虚軸に対称な点となり，このときα^2=-1であることから，zΦ=-z*=z%（複素対称）である．(z*)^n=(z^n)*であることは知られているが，(z%)^n=(z^n)%．
3. #035 ※30　フィボナッチ数はピタゴラストリプル　F_(n)^2 + F_(n+1)^2 = F_(2n+1)　問題文の解釈で紛糾した　タイル貼りとフィボナッチ数列
4. #046 ※48　15^113 mod 113　フェルマーの小定理，二項定理，合同式の四則演算 maximaの使用
5. #047 ※69　３次複素数方程式の根　極形式による解，因数分解による解，複素数根の３D視覚化，円分体，根と解の違い　「複素方程式の根（解）とは，その複素多項式の絶対値をゼロにするような点である」
6. #061 ※43　ベクトルの張る部分空間の次元　行列の基本変換，ベクトルの差分を手計算，ベクトルの合成，一次結合
7. #081 ※62　コンウェイの円の弦長を求める　コンウェイの円の定理　高崎晶平，Fukuzo Kuroki，
8. #093 ※120　3^2023^2023 mod 7　合同式の指数計算，べき乗の剰余数列の周期性予想，久留島・オイラーの公式，ここからべき乗剰余マトリックスに発展　予測：正整数ｎのべき乗の正整数ｋによる剰余が生成する数列は周期性を持つ．周期のパターンには①有限個(<k)の非ゼロ項のあと，無限に０が続くパターン，②１が出現する周期数列，③１が出現しない周期数列がある．
   　
   補題Ⅰ：べき乗の剰余数列で {0} 項が現れるのはどのような場合か？⇒n^φ mod k ≡ 0 となるためには，n が k の素因数をすべて含んでいなくてはならない
   　
   補題Ⅱ：べき乗の剰余数列の初項 a_1 ≡ a とするとき，数列が { 0, 0, … , 0 } に縮退する場合を除いて，初項 a を含まない周期数列は存在するか？⇒無数に存在するが，(n, k) を n と k の GCD として，初項 a mod (n, k) ≡ 0 の場合に限られている？　⇒　補題Ⅳ　⇒反例あり
   　
   補題Ⅲ：べき乗の剰余数列において，n と k が互いに素⇔剰余数列に{1}が現れる　⇒　成立しているように思われる，つまり，gcd(n, k) ≠ 1 の場合には，n^φ mod k ≡/≡ 1　⇒　宿題２：オイラーの拡張定理
   　
   落伍項　⇒　ｋの素因数がべきになっている場合には（ｎとは関わりなく）落伍項が生じる
9. #109 ※37　半円に内接する円の半径　和算数能極形術
10. #118 ※36　(x^2 + y^2) / (x – y)が 1995 を整除するような (x, y) の対の個数　全探索アルゴリズムを書いて解いた
11. #121 ※36　区間が三角関数で指定されるような無理式の定積分を微分する　不定積分の微分を求める　出題にミスあり
12. #163 ※33　長方形を折って３つの直角三角形を作る，３つの直角三角形の面積は等差数列をなす　８次方程式になる　
13. #181 ※48　一般項が三角関数で表示されるような数列の極値　周期関数の収束　
14. #186 ※35　√(6√(6√(6)…))　ｘ：＝√（６ｘ），積の形に変形する　べき等問題に発展
15. #197 ※29　8^2023 mod 55　べき剰余周期はべき基数の値によらず
16. #203 ※33　数列要素の推定問題　等差数列，回文，計算マジック
17. #215 ※215　四元数の部分群の自己同型クラスの個数 三次元の回転，自作ツールで部分群分解，SageMath
18. #234 ※44　列車A, B, CのうちAの先着確率　ABCルーレット法
19. #269 ※31　３元１次連立方程式　クラメルの公式，行列の基本変形⇄行列ｘ置換行列，ガウスの消去法（掃き出し法），逆行列を左から掛け
20. #272 ※73　無向グラフの半径　⇒　フロイド・ライプネッツアルゴリズム→フロイド・ワーシャル法
21. #283 ※164　交代群A5の極大部分群の位数　GAP，ラグランジュの定理，部分群検定から発展してアリアドネの糸巻きに到達，Domino アルゴリズム，S4の極大な部分群（位数12）は「二乗関係の接続木から終端ノード（葉）を取り除いたもの
22. #284 ※20　三角形の面積　代理投稿，メネラウスの定理
23. #331 ※22　 三角形の周長を求める　２接線は等長，ナムの課題，ナムの補題（垂線による正三角形の辺の等分割，ナムの課題の拡張

２０２３年AMSカレンダーの続きをやろう．とりあえず，コメント数が３０を超えているものをピックアップしてみる．

1. 2023/01/10 #010 ※35　三角関数の入った２次の分数式の積分　分数関数の積分，arctanの微分=1/(x^2+1)　異儀田幸成，Fukuzo Kuroki，高崎晶平，Hamody AlFaisal，محمود اسماعيل　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/5770739793041123/
2. 2023/01/16 #016 ※41　複素数のべき　極座標で計算，数値解，複素回転，複素反転，オイラーの公式　三浦仁志，Fukuzo Kuroki，大橋弘樹，さかいおさむ，ティーティーエス　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/5789512174497218/
3. 2023/02/04 #035 ※30　フィボナッチ数はピタゴラストリプル　F_(n)^2 + F_(n+1)^2 = F_(2n+1)　高崎晶平，山本幸生，Fukuzo Kuroki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5846805968767838/
4. 2023/02/15 #046 ※48　15^113 mod 113　フェルマーの小定理，二項定理，合同式の四則演算　Fukuzo Kuroki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5881292788652489/
5. 2023/02/16 #047 ※69　３次複素数方程式の根　極形式による解，因数分解による解，複素数根の視覚化　山本幸生，Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/5885026371612464/
6. 2023/03/02 #061 ※43　ベクトルの張る部分空間の次元　行列の基本変換，ベクトルの差分を手計算，ベクトルの合成　山本幸生，さかいおさむ，Fukuzo Kuroki，Tomoyuki Suzuki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5929420040506430/
7. 2023/03/22 #081 ※62　コンウェイの円の弦長を求める　コンウェイの円の定理　高崎晶平，Fukuzo Kuroki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5997925576989209/
8. 2023/04/03 #093 ※120　3^2023^2023 mod 7　合同式の指数計算，久留島・オイラーの公式，ここからべき乗剰余マトリックスに発展　（深町眞理子），Fukuzo Kuroki，大橋善和，Noureddine Mohiti，Andrey Zharkikh　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6031847776930322/
9. 2023/04/19 #109 ※37　半円に内接する円の半径　和算数能極形術　Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6081452098636556/
10. 2023/04/28 #118 ※36　(x^2 + y^2) / (x – y)が 1995 を整除するような (x, y) の対の個数　全探索アルゴリズムを書いて解いた　伴公伸，Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6110626442385788/
11. 2023.05.01 #121 ※36　区間が三角関数で指定されるような無理式の定積分を微分する　不定積分の微分を求める　山本幸生，Fukuzo Kuroki，高崎晶平，　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6120477611400671/
12. 2023/06/12 #163 ※33　長方形の内部にある三角形の面積，３つの直角三角形の面積は等差数列をなす　Fukuzo Kuroki  maxima を使って解いた　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6263235843791513/
13. 2023/07/01 #181 ※48　一般項が三角関数で表示されるような数列の極値　周期関数の収束　高崎晶平，Tomoyuki Suzuki，Fukuzo Kuroki，さかいおさむ　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6332891830159247/
14. 2023/07/06 #186 ※35　√(6√(6√(6)…))　ｘ：＝√（６ｘ），積の形に変形する　山本幸生，Tak Maki，Norio Iriyama　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6345168905598206/
15. 2023/07/17 #197 ※29　8^2023 mod 55　べき剰余数列の最大周期Χ　Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6379866452128451/
16. 2023/07/23 #203 ※33　数列要素の推定問題　Tak Maki，関勝寿，位田敏和，加納正司　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6398429330272163/
17. 2023/08/04 #215 ※215　四元数の部分群の自己同型クラスの個数 自作ツールで部分群分解　Fukuzo Kuroki，Tak Maki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6474031636045265/
18. 2023/08/23 #234 ※44　列車A, B, CのうちAの先着確率　ABCルーレット法　加納正司，Tik Maki，　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6521535404628221/
19. 2023/09/27 #269 ※31　３元１次連立方程式　クラメルの公式，行列の基本変形⇄行列ｘ置換行列，ガウスの消去法（掃き出し法），逆行列を左から掛ける　Fukuzo Kuroki，村岡仁実　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6631820833599677/
20. 2023/10/01 #272 ※73　無向グラフの半径を求める．ここからフロイド・ライプネッツアルゴリズムという展開になる　Fukuzo Kuroki，Motohiro Takahara　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6647602418688185/
21. 2023/10/12 #283 ※164　交代群A5の極大部分群の位数　ラグランジュの定理　Fukuzo Kuroki　部分群検定から発展してアリアドネの糸巻きに到達　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6687486251366468/
22. 2023/10/14 #284 ※20　三角形の面積　メネラウスの定理　村岡仁実，高崎晶平　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6699404993507927/
23. 2023/11/30 #331 ※22　 三角形の周長を求める，ここからナムの課題に発展　Nhảm，Tomoyuki Suzuki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6874150346033390/

1. 2023/02/26 ※188　一関市博物館「和算に挑戦」2022年度問題③を改題。　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5920897928025308/
2. 2023/05/04 ※103 京都大学の後期試験問題　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6131697793611986/
3. 2023/09/15 ※59　S_{3}の置換 に3次の正方行列(要素(0,1))を対応させると、　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6587241404724287/
4. 2023/10/01 ※48　今日はNHKのまわし者(^_^;　(^_^;ちゃいけないか？　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6647828078665619/
5. 2023/11/05 ※50 対称群Snの共役について、 2冊の本の解説をみました　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6783914031723689/　
6. 2023/11/10 ※43　対称群Snの共役について(再)　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6802031046578654/
7. 2023/12/21 ※35　1221,今日は回文の日.回文とは,　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6953180971463660/

５月分に重複があったので，削ったら１件不足が発生してしまった．#125が落ちている．2023/05/05だ．#128も落ちている．2023/05/08．６月分が１つ紛れ込んでいた．今度は６月が３１件になってしまった．「６月５日」というのは５月で重複していた分だ．

AMSのDaily Epsilon of Math Calenderの２０２３年分は完了したが，まだ出てこないトピックスがある．たとえばアルキメデスのコンパスや接線の包絡線など…　おそらくこれらは黒木氏のスレッドに含まれているのだろう．こちらも同方式で整理しておく必要がある．黒木氏の投稿は４０本ある．かならずしもすべてが重要という訳ではないとは思われるが，重要なスレも少なからずあったはずだ．かなりの作業量になるが，やっておくしかないだろう．

整理と言っても，スレッドの概要をタイトル表示して，コメント数を書き出すというだけだ．⇒いや，その意味での作業はすでに完了している．ただし，内容を読み出してコメント投稿者を拾い出すところまではやっていない．コメント数が４０を超えているものを仮に（外形的に）重要スレッドと見ることにすると，

1. 2023/02/26 ※188　一関市博物館「和算に挑戦」2022年度問題③を改題　三斜等円術，数能解法，平行線の公理の廃絶に言及，実験数学，和算三平方の定理，界斜の可動範囲，アルキメデスの楕円コンパス，楕円族の包絡線（アステロイド）図，宿題Ⅲ：楕円コンパス線が楕円の接線になっていること，その接点が包絡線上の点であることが言えればよい　
   https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5920897928025308/　
2. 2023/05/04 ※103 京都大学の後期試験問題　(2)あなたの好きな自然数n をひとつ決めてg(n) を求めよ　命題：p を任意の素数，n を任意の正整数とする．1～p の n 乗（p 個の整数）の和を p で除したときの剰余を R(p, n) とすると，R(p, n) = { Σ{k=1→p} k^n } mod p．このとき，R(p, n) = p – 1 if (n mod p – 1 ≡ 0) else R(p, n) = 0，べき乗和剰余数列の周期が p-1 であることの証明，べき乗和剰余列の類別，べき剰余マトリックスの縦数列，横数列の性質：①周期性，②回文性，③異種文字数　　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6131697793611986/　
3. 2023/09/15 ※59　S_{3}の置換 に3次の正方行列(要素(0,1))を対応させると　置換行列，行列に置換を作用させる，置換行列の行列式は対応する置換の符号に等しい，一般線形群，交差しない閉路の集合であるようなグラフ　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6587241404724287/　
4. 2023/10/01 ※48　今日はNHKのまわし者(^_^;　(^_^;ちゃいけないか？　確率論，モンティ・ホール問題，マリリン・サヴァントの解は正しい，ねじれの位置，非ユークリッド幾何学，コラッツ予想，数論が崩れる，光の木，１＋１≠２　素数の無限積 = 4π^2 ＜ 40　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6647828078665619/　
5. 2023/11/05 ※50 対称群Snの共役について、 2冊の本の解説をみました　τ^(-1)=[[τ(1),τ(2),…,τ(n)][1,2,…,n]]　産まれたときから婚約者が決まっている，有限性の檻，任意の群において元の置換表現を割り出すことは可能か？，「有限単純群分類」の終了宣言（1980年初め），極大部分群の共通部分（フラッティーニ部分群）　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6783914031723689/　
6. 2023/11/10 ※43　対称群Snの共役について(再)　σ, τ∈Snのとき，σ, τが共役⇔σ, τの型が一致，同型 ⊂ 共役？，フロック（部分群を構成する場合に不可分な元の集合），アリアドネの糸巻き（←準同型検定＋行列同型検定（ELSIE）＋アリアドネ），（素数位数の群はすべて素群と推量される）　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6802031046578654/　
7. 2023/12/21 ※35　1221,今日は回文の日.回文とは　無限長の回文，数学的モズ歌，コンピュータ博物館，CRISPR-cas9　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6953180971463660/

全部で６本だ．⇒※７本．しかし，ここにはアルキメデスのコンパスの話は出てこない．いや，２番目の一関市博物館というのがそれではないか？コメント188件という大きなスレッドだ．伴公伸氏の投稿にも楕円コンパスという話題が取り上げられている．伴氏と言えば，物理に関するスレッドも整理しておく必要があるのではないか？ほとんどは伴氏のスレッドだったような気がするが，きっかけは

２月分まで完了した．もう一息．

以下に複素数の反転に関する考察が展開されている．

2023/01/16 #016 ※41　複素数のべき　極座標で計算，数値解，複素回転，複素反転，オイラーの公式　三浦仁志，Fukuzo Kuroki，大橋弘樹，さかいおさむ，ティーティーエス

https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/5789512174497218/

以下では以下のような記号を用いている．複素数zの複素共役をz*，をzの複素対称をz%=-z* とする．このとき，nを整数として，z%^n = (-1)^p(n) (z^n)*：p(n)=1 奇数n, p(n)=0 偶数n．このアイディアは黒木氏のコメントから派生したものだ．

Fukuzo Kuroki もし，(z%)^n = (z^n)%が成立しているとすると，それを一般化して以下のようなことが言える可能性があります．

複素数z=a+bi，zの複素共役a-bi=z*とする．複素平面の原点を通り実軸となす角度がθであるような直線φに対し，zの対称点となる点をzΦとする（記号ΦはzをzΦに移す対称移動を意味する）．このとき，α=cosθ+isinθとして，zΦ=(z*)α^2である．（αは直線φと単位円の交点の極座標表示，この移動は原点からの距離を変えないので，複素回転と呼ぶことにしよう）

黒木の複素回転予想：θ=0，α^2=1のとき，zΦはzの複素共役z*である．（つまり，複素共役は複素回転の特殊な場合である）z*の符号を反転したものをz%と表記し，z%=-z*をzの複素対称と呼ぶ．θ=π/2のとき，zΦは虚軸に対称な点となり，このときα^2=-1であることから，zΦ=-z*=z%（複素対称）である．(z*)^n=(z^n)*であることは知られているが，(z%)^n=(z^n)%であり，さらに一般に拡張して (zΦ)^n=(z^n)Φであることが言える．

上記予想は既知なのでしょうか？それとも，誤り？

Fukuzo Kuroki ±i±1 の4つが対称関係にあり

z = a + bi とすると，① +i + 1 は 複素数 z，②複素共役 z* = a – bi が – i + 1，③複素対称 z% = – a + bi が + i -1，④原点対称 -z = z*% = z%* = – a – bi が – i – 1 に相当します．

Fukuzo Kuroki さすがに，一般の場合（複素回転 zΦ）は無理ですね．原点を中心とする円周上の２点P, Qの中点と原点を通る直線Lを考えると，P, Qは直線Lに対して対称位置にありますが，任意の２点P, Qのべき乗がすべて同じになるはずがありません．

しかし，上記の①複素数 z，②複素共役 z*，③複素対称 z%，④原点対称 -z に関しては成立するのではないでしょうか？これこそ，「黒木予想」の趣旨ではないかと思いますが… いや，やはり，何かしら条件が必要なのかもしれません．zの偏角をθ，冪の指数をkとして，kθが2πの倍数になっていれば十分のような気はしますが…

複素数のべき乗根 n√z は n 個あるはずなので，今の場合，8乗ですから，8パターンあり得るということではないでしょうか？n 乗根は原点を中心とする円周を n 等分した点になるはずなので，指数 k が偶数の場合に限り上記のようなことが言えるのだと思います…

以下では，「複素回転」を「複素反転」と言い換えてみました．複素反転は原点を通る直線を対称軸とする線対称変換です．

複素反転 Φとは以下のような複素平面上の座標変換である．原点 O を通る直線 ε と O を中心とする半径 1 の円周の交点を Φ とし，OΦ と実軸のなす角度を φ とするとき，直線 ε に対し複素数 z と対称位置にある点を z(Φ) と表記する．Φ = cosφ + isinφ である．複素反転 z(Φ) は複素数 z の複素共役を z* とするとき，z(Φ) = (z*)Φ^2で与えられる．z の複素共役 z* = z(1) であり，z の複素対称 z% = z(i) = -z(1) = -z* である．また，z の原点対称は z%* = z*% = -z である．

設問：(z*)^n = (z^n)* は任意の整数 n について成立するが，複素反転の等式

z(Φ)^n = z^n(Φ)　　　　（A）

が成立するのはどのような場合か？

回答：複素反転 z(Φ) = (z*)Φ^2であるから，

z(Φ)^n = ((z*)Φ^2)^n = z*^n・Φ^2n　　（1）

z^n(Φ) = (z^n)*・Φ^2 = (z*^n)Φ^2　　　（2）

（1）=（2）であるとすれば，z*^n・Φ^2n = (z*^n)Φ^2．この両辺を (z*^n)Φ^2 で除して

Φ^(2n – 2) = Φ^2(n – 1) = 1　　　（3）

（3）より，Φ が1の 2(n-1) 乗根である場合にはつねに z(Φ)^n = z^n(Φ) が成立する．つまり，Φ が 1 の偶数乗根であれば等式（A）はつねに成立する．

Φ = 1（複素共役），Φ = i（複素対称）の場合には（A）がつねに（無条件に）成立することは，（1）,（2）式にΦ 値を代入することで確認できる．原点対称の場合はどうか？原点対称とは複素数 z の原点に対し点対称となる点であり，z の符号を反転したものであるから，z(Φ) = -z である．原点対称は O を通り Oz に直交する直線 ε を軸とする線対称と考えることもできる．Φ = zi / |z|．z・z* = |z^2| であるから，z / |z| = |z| / z* を用いて，Φ = |z| i / z*．（z = a + biとすれば，Φ = -b + ai）

z(Φ) = (z*)Φ^2 = (z*)・(|z| i / z*)^2 = -|z|^2 / z* = -z

これから，z(Φ ) = -z となり，確かに原点対称は Oz に直交する直線 ε に対する複素反転になっている．（原点対称は複素共役ｘ複素対称＝複素対称ｘ複素共役でもある）

z(Φ)^n = (-z)^n = (-1)^n・z^n

(z^n)(Φ) ＝ -(z^n)

から，原点対称の場合，指数が奇数であれば等式（A）が成立する．

複素反転で指数の奇偶でべき乗等式の成否が変化するというのは面白くない．複素反転の構成で，z(Φ) = (z*)Φ^2のようにΦの２乗が適用されていることが「偶数べき条件」が発生する理由になっていると考えられるので，これを書き換えて，z((T)) = (z*)Tのようなものを考えてみる．（二重括弧は「回転」のイメージです）

複素回転 T とは以下のような複素平面上の座標変換である．原点 O を中心とする単位円上の点を T とし，OT と実軸のなす角度を τ とする．T = cosτ + isinτ である．複素回転 z((T)) は複素数 z の複素共役数 z* を角度 τ だけ回転させたものであり，z((T)) = (z*)T で与えられる．z の複素共役 z* = z((1)) であり，z の複素対称 z% = z((-1)) = -z((1)) = -z* である．また，z の原点対称 z%* = z*% = (z*)((-1)) = z**(-1) = -z．つまり，複素回転変換は，①複素共役，②複素対称，③原点対称を含み，それらの自然な拡張になっている．

設問：共役複素数の n 乗は n 乗の共役複素数である．つまり，等式 (z*)^n = (z^n)* が任意の整数 n について成立するが，複素回転のべき乗等式

z((T))^n = z^n((T))　　　　（B）

が成立するのはどのような場合か？

回答：複素回転 z((T)) = (z*)T であるから，

z((T))^n = ((z*)T)^n = z*^n・T^n　　（1）

z^n((T)) = (z^n)*・T = (z*^n)T　　　（2）

（1）=（2）であるとすれば，z*^n・T^n = (z*^n)T．この両辺を(z*^n)T で除して

T^(n-1) = 1　　　（3）

（3）より，T が 1 の (n-1) 乗根である場合にはつねに等式（B）が成立することが言える．（1）,（2）式に T 値を代入することで，T = 1（複素共役）の場合は，（nの値に関わりなく）つねに成立することも言える．T = -1（複素対称），T = ±i の場合には，指数 n が奇数であれば成立する．（T = -1 の場合は n >= 3，T = ±i の場合はn > 3）

原点対称 -z の場合，z(T) = -z = -|z^2| / z* = z*・-|z^2| / (z*)^2 = z*・-z^2 = z((-z^2)) であるから，T = -z^2．

(3)より，(-z^2)^(n – 1) = 1

(-1)^(n – 1)・z^2(n – 1) = 1

z^2(n – 1) = 1 / (-1)^(n – 1) = 1 奇数 n，-1 偶数 n

z^(n – 1) = 1 奇数 n，i 偶数 n

よって，原点対称では，指数が奇数の場合は z が 1 の n – 1 乗根，偶数の場合は z が i の n – 1乗根ならば等式が成立すると言える．

複素反転は対称軸を定めて，z の線対称点を得るという変換だが，複素回転は z の複素共役の単純な回転に過ぎない．複素回転は複素反転と同様，複素共役・複素対称・原点対称を含み，これらの変換の拡張とは言えるが，期待ほどの効果は見られなかった．複素回転の幾何学的な意味もやや不明ではあるが，いつか，どこかで役に立つこともあるのではないだろうか？

１月分まで完了した．つまり，終わった！

一つ興味深いページが出てきた．2023/04/22 #112で平面上の６本の直線で区切られた領域の最大個数という問題で，これらの直線がある種の包絡線を構成しているということが見えてきた．

https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6092068014241631/

６本の直線を６角形の辺と見れば，明らかにこれはパスカルの六芒星図に関わりがあると考えられるから，延いては我々のナムの三角形に繋がるものと考えられる．つまり，この包絡線はパスカルの六芒星図の一般形式である円錐曲線に他ならないのではないか？逆に言えば，この図はパスカルの六芒星図に他ならないとも言える．ただし，パスカルの六芒星図では最初に円錐曲線があり，その上の６点がなす六角形の辺の延長線を考えているのに対し，任意の６本の直線から開始しているところに大きな違いがある．言ってみれば，これはパスカルの六芒星図の拡張ないし一般化と言ってよい．この図をじっくり吟味すれば多分いろいろのことが分かってくると思う．

改題：べき乗の剰余数列の周期性予想

予測：正整数ｎのべき乗の正整数ｋによる剰余が生成する数列は周期性を持つ．周期のパターンには①有限個(<k)の非ゼロ項のあと，無限に０が続くパターン，②１が出現する周期数列，③１が出現しない周期数列がある．

宿題：上記予測が真であることを証明せよ．ないし，反例があればそれを示せ．

大橋さんご指摘のように，②のパターンは冗長ですが，②が発生する機序を明らかにしたいという動機から，このような表現としました．

宿題２：オイラーの拡張定理

a, n を正整数とする．a と n が互いに素であるときには，オイラーの定理により，a^φ(n) ≡ 1 mod n である（φ(n) はオイラーのトーシェント関数）．つまり，a のべき乗で 1 mod n となるような指数 α が存在する．a と n が互いに素でない場合には，このような n の指数 α は存在しない．言い換えれば，ある正整数 α が存在し，a^α ≡ 1 mod n となることと，a と n が互いに素であることは同値である．

上記命題が真であることを証明せよ．ないし，反例があればそれを示せ．

４月分が完了した．残り３ヶ月，つまり１年の1/4を残すだけになった．１～３月まではすでにリストになっているので，それも参考にすることにしよう．⇒３月までと思っていたが，４月までリストアップしていた．⇒３月まで完了した．２月分の投稿は日付に乱れが目立ったが（間違ってコメント欄に投稿したりなど…），後はなんとかなるだろう．

問題番号のダブりがもう１件出てきた．2023/06/23と24に同じ#174が割り当てられている．2023/06/2４の方を#174+としておく．⇒６月分が完了した．これで半年分をこなしたことになる．⇒５月分も完了した．残り１～４月だから，１年の2/3が片付いたことになる．

まったく関係のない外部グループに数学の問題を投稿していた．どんな手順でこんなことが起きたのか？ちょっと想像付かない… ようやく９月分が終わった．年内に完了するというのは到底無理…

どうも，厄介なことになってきた．AMS Daily Epsilon of Math Calender の整理をしているところだが，投稿を抜き出すことが難しい．１１月と１２月の分まではなんとか取り出せたが，それ以上になると出てこない．現在１０月分が１７件，ｇ月分が１２件，８月分が１１件でそれ以下は１桁に留まる．どうすればよいか？Google などの外部検索ツールではFBの内部探索まではできないので，アクセス不能だ．データ自体は蓄積されて，堆積した状態になっているはずだが，取り出す方法がない．FBグループの検索ツールである程度まではアクセス可能だが，表示件数に制約があり，上記の数字くらいしか出てこない．グループ検索には期日指定という項目があり，これがたとえば月単位で動作すればよいのだが，年という大雑把なアクセスしかできない．

一つ方法があった！アクティビティログというのがあり，それを月別表示することができる．https://appiro.jp/facebook/18163　これで月単位に１件づつこなしてゆけば，いつかは終わるだろう．