部分群を列挙する問題は思ったより難しい

部分群を列挙する問題は思ったより難しい．部分群検定で生成される部分群は極小な部分群であると言えると思われるが，すべての部分群がこれら極小な部分群（以下では素群と呼ぶ）から合成可能であるか否かは不明である．というか，その組み合わせを見つけるのは中々困難だ．A5の場合の素群は位数2×15，位数3×10，位数5×6の31個で，これら部分群の元集合はA5の台集合を(単位元を除いて）直和に分割している．

確かに，(2-1)x15+(3-1)x10+(5-1)x6 = 1×15+2×10+4×6 = 15+20+24=59で完全に|A5|-1=60-1と一致している．つまり，どの部分群も単位元を除いては共通元を持たない．部分群検定で生成された部分群の台集合をシードごとに保管するようにしてみよう．⇒クラス群の中にstring[][] 部分集合を追加した．こんな感じのダンプになった．

i=1 {e,1,2,}
i=2
i=3 {e,3,}
i=4 {e,4,6,}
i=5 {e,5,9,}
i=6
i=7 {e,7,10,}
i=8 {e,8,}
i=9
i=10
i=11 {e,11,}
i=12 {e,12,}
i=13 {e,13,}
i=14 {e,14,}
i=15 {e,15,24,}
i=16 {e,16,32,48,45,}
i=17 {e,17,35,36,57,}
i=18 {e,18,46,26,56,}
i=19 {e,19,37,}
i=20 {e,20,42,50,34,}
i=21 {e,21,58,25,44,}
i=22 {e,22,49,}
i=23 {e,23,54,38,31,}
i=24
i=25
i=26
i=27 {e,27,}
i=28 {e,28,39,}
i=29 {e,29,51,}
i=30 {e,30,}
i=31
i=32
i=33 {e,33,}
i=34
i=35
i=36
i=37
i=38
i=39
i=40 {e,40,52,}
i=41 {e,41,}
i=42
i=43 {e,43,}
i=44
i=45
i=46
i=47 {e,47,}
i=48
i=49
i=50
i=51
i=52
i=53 {e,53,}
i=54
i=55 {e,55,}
i=56
i=57
i=58
i=59 {e,59,}

あとはこれを組み合わせて合成群を作るだけだ．⇒いや，素群2つでは部分群は構成できない．必ず元の補充が必要になる．つまり，３つ以上の素群を合わせなければ部分群を構成することは不可能と考えられる．少なくとも位数4の部分群は3つの素群から構成できる．次の作業に入る前に，A5の部分群を素群に分解できることを確認しておいた方がよい．