黒木のべき乗和公式からファウルハーバーのべき乗和公式への変換を実現するという課題をそろそろ片付けておきたい．大筋は大体見えてきたのだが，まだ細部で煮詰まっていないところがある．
その前に一つ気になる点として，黒木のべき乗和公式の塁和が j=2→k+1 になっているという点がある．文献ではここは，j=0→k-1になっているというところだ．つまり，∑ {k=0→k-1} binom(k+1, j) P_j(n) のところが，黒木の公式では ∑ {k=2→k+1} binom(k+1, j) F_{k+1-j}(n) となっている．インデックスのシフトは加算の個数を変えないので，それ自体は安全だが．．．
どうも，この式自体が最初から間違っていたような気がする．この公式を導出したところ（記事）を再点検する必要がありそうだ．⇒いや，もしかすると間違っていない可能性もある．j=2のとき，k+1-j=k-1，j=k+1のとき，k+1-j=0 となるので，P_j に関しては一致している．しかし，二項係数の部分は合わないのではないか？(k+1, 2)と(k+1, k-1)，および，(k+1, k+1)と(k-1, 0) は一致するだろうか？後者が一致することは間違いないとして，前者はどうか？
m=k+1-j とすれば，m=0のとき，j=k+1，m=k-1のとき，j=2 となるから，数字的には合っているのではないか？逆に言えば，m=k+1-j とすれば, j=2のとき，m=k-1，j=k-1のとき，m=0 となるから，通常の公式と一致する．この，「k+1-j」がそのまま出てくる式も結構見かけるので，そのままでもよいという気もしないでもない．この式は2024年の7月から公開されているので，間違っていたとすればとんだ恥さらしだが，とりあえず，数式的には合っていると考えてよいのではないか？