ゼルコバの木テント村

ナムの課題に米澤晋吾氏から証明が付いた．こんなに早く証明が出てくるとは思わなかったので，意外だった．証明は射影幾何学の手法によるもので，まだ完全には読解できていない．ともかく，まず命題を定式化するところから始めよう．米澤氏は命題を以下のよう定立している．

２次曲線Γに異なる６点 D, E, F, G, H, I がある．さらに，A, B, C，P, Q, R，および J, K, L を直線の交点から定める．このとき AP 上にJ，BQ 上にK，CL 上に R があり，AP, BQ, CR は一点 M で交わる．

「CL 上に R があり」というのはおそらく「CR 上に L があり」の誤記と思われる．⇒コメントしたら，即応答があった．⇒図版を統一したいので，GRAPEをダウンロードした．どうも，GeoGebraほど直観的なものにはなっていないようだ．すこし遊んでみよう．

いや，これはちょっと手が出ない気がする．曲線を描こうとすると，まず式を入力することを要求される．点を繋ぐという入力方法もあるが，ベジエ曲線や折れ線しか引けない．将来的に使うこともあるかもしれないが，いまのところGeoGraphしかなさそうだ．GeoGraphの場合には５点を通る二次曲線というのがあるので，ここから始めることができる．

超冪剰余の計算機能を久留島喜内の道具箱に組み込もうとしているところだが，どうも使っているアルゴリズムが間違っている可能性が出てきた．いや，もちろん，実装でやり損なっている可能性はあるが… 2^^3%47=16という簡単な計算で失敗している．

UltraPower: 超冪＝基底^^階数 mod 除数=2^^3 mod 47＝4 有効階数=3

この計算は尖頂の2^2=4 ⇒ 2^4=16 となるのだから，答えは１６にならなくてはならない．そもそも，2^^1％４７＝１というところで間違えている．ここから始めるしかない．いや，これは正しい．2^^1=2^0=1だ．2^^2を見てみよう．

UltraPower: 超冪＝基底^^階数 mod 除数=2^^2 mod 47＝2 有効階数=2

これも間違っていない．超冪記法の読み違いだろうか？ということはむしろ，超冪原木の値の方が間違っていることになる．確かにそのようだ．階高と言っている値から２を引いた数が実際のべきの回数だ．つまり，a^^nはa^a^a^…でｎ個のaが並んでいることを意味するので，たとえば，a^^4の場合はa^a^a^aだが，CalcPowerTowerの中で^aを実行する回数は2である．つまり，a^(a^(a^a))の式に出てくる()の個数は2だ．しかし，階高１ならaを返さなくてはならないのではないか？１が帰るというのはおかしい．いや，やはり合っていないような気がする．a=2のとき，

a^^1=a
a^^2=a^a=2
a^^3=a^a^a=16

でなくてはならない．UltraPowerでべき回数を一つ少なく見ているように思われる．⇒n=1の場合について対処した．base Mod divisor を直接返すようにした．n=2ではまだ戻ってしまっている．⇒base Mod divisorで離脱するようにして動作するようになった．しかし，49^^2%47では不一致になってしまう．3^^2%47=27 では正しく動作しているので，α＞γの場合の現象だろう．7^7%47=9は正しく動作している．15^^2 mod 47＝0 という数字が出てくる．原木では30だ．4^^2 mod 47＝12 までは正しい答えになっている．

15, 2, 47 はすべて互いに素であるはずなのだが… 17^^2 mod 47＝37 では正しい答えが出ている．これは17が素数であることに関係しているのではないか？しかし，19は素数であるにも関わらずエラーになっている．13は通る．

超冪＝基底^^階数 mod 除数=19^^2 mod 47＝5 有効階数=2
超冪原木=1978419655660313589123979 超冪盆栽=33

15^^2 mod 47＝0 というのを見てみることにしよう．

超冪＝基底^^階数 mod 除数=15^^2 mod 47＝0 有効階数=2
超冪盆栽=30 超冪原木=437893890380859375

43789389038085937547はもちろん47で割り切れない．割り切れたようになっているのは中間の計算に何か誤りがあるためだろう．配列Eに何も書き込まれていない．これはどういうことだろう．α=14のときはE(0)=12が入っている．B={14, 14}，C={47, 23}，E={12, 0}だ．α=15の場合，depth=0 で exponentが0になっている．B={15, 15}，C={47, 46}だ．C[1]=46というのが何かありそうだ．⇒どうもこれは数値がオーバーフローしているためではないかと思われる．

baseもpowerも15という小さい整数だが，15^15はすでに437,893,890,380,859,375という巨大数だ．⇒CalcPowerのローカル変数をすべてBigIntegerに変更した．これで動作するようになった．まだ通っていない．49^^2%47=2<>8で超冪盆栽と一致しない．

▲47^^2%47でゼロ除算が発生した．PowerResiduePeriodの引数 baseが0になっている．⇒LambdaFunctionで例外が発生している．GCMが０を返している．これをγ = BigInteger.Divide(γ, gcd)で使っているためだ．⇒回避するようにした．LambdaFunctionでもα=0で復帰するようにした．CalcPowerではModPow(base, power, divisor)を計算しているので，power=0のときは1が帰るようになっている．しかし，割り切れるときには０を返すべきだろう．⇒base Mod divisorの冒頭でbase Mod divisorを実行し，割り切れる場合は０復帰するようにした．

αが49を超えると不一致が発生するようになる．49^^2 mod 47＝4<>8だ．ともかく一度バックアップしておこう．どうも，どこかいじって壊してしまったようだ．49^^5%47=4になってしまう．いままでは25という正しい答えが出ていたのだが…

昨日の続き，超冪の計算だ．ともかく，最後まで書いてしまおう．フェーズⅡは再帰関数になるはずなのだが… 基底から実行して塔の尖端まで上昇するという作りになるはずだ．引数でdepthと２つの配列を渡せばよいのではないだろうか？⇒基底の除数が配列に入っていないこれを先に詰め込む必要がある．Cも一つずれがある．最初の除数4７が入っていない．⇒いや，ちょっと読み違えているようだ．基底が呼び出されたときの基数は2で除数47でなくてはならない．⇒一応計算できたようだ．２５という値が出力されている．

基数を除数が割り切れるとき，冒頭の a = base Mod k で a が0になってしまう．どうすればよいか．⇒剰余ゼロなのだから，ゼロ復帰するしかない．⇒値が１になっている．初期値には０が与えられている．CalcPowerで１を返しているのだろう．⇒動作するようになった．どうも基底と除数が互いに素でない場合は正しい答えにならないような気がする．これは後で確認することにする．

塔の上部がカットされた場合の階高を表示できるようにしたい．⇒配列BないしCに入っている有効データをカウントすれば分かる．⇒基底が除数で割り切れて剰余ゼロとなる場合は有効階数＝０とした．除数が素数でも基底が大きいと階高はかなり小さくなる．なぜだろう？⇒どっちみち，この塔はあまり高いものにはならないのではないだろうか？除数を十分大きくすれば少しは伸長するかもしれない．⇒あまり効果はなさそうだ．上限を計算できるだろうか？

基底ないし除数が与えられたとき，最高塔を作るための条件はなにか？剰余演算によって生成される超冪は原木を刈り込んだ，いわば盆栽のようなものである．このとき，原木の形状と盆栽超冪は準同型であると言えるか？つまり，盆栽は原木のミニチュアになっているか？

いずれにしても，超冪剰余がかなり小さい塔になることはわかったので，生値から生成される原木を計算して比較してみることにしよう．⇒原木を計算できるようになったが，盆栽と一致しない．いや，おかしい．どこか壊してしまったのだろうか？盆栽の値が間違っている．ループが一回り足りていないようだ．

どうも，配列に冒頭の基底４７を押し込んだところで末尾の２５が押し出されてしまっているようだ．⇒いや，それも違うのでは？２５が表示されていたのはexpの値で，４７を押し込んだのはdivisorの方だ．

height=0 base=2 divisor=47
height=1 base=3 divisor=23
height=2 base=5 divisor=11
height=3 base=4 divisor=5
height=4 base=0 divisor=2
height=3 exp=1
height=2 exp=5
height=1 exp=13
height=0 exp=14

1→5→13→14

CalcPowerでheight = depth + 1で復帰しているところで，CalcPower = C(depth) ^ 18 Mod C(0)を実行してその値を返したところ下記のようになった．

height=3 exp=4
height=2 exp=9
height=1 exp=18
height=0 exp=25

どうも，どこかでこじれてしまったような感じだ．前のバージョンに戻って調べた方がよいかもしれない．⇒一つ前のバージョンでは上と同じ動作になっている．こちらの方が正しい．どこを修正したのか分からないが，戻した方が早そうだ．このバージョンでは基底の除数４７が配列に入っている．⇒おそらく，原木の剰余を計算する処理を組み込んだところでどこか余分なところをいじってしまったのだろう．

基底49，除数47，階高3の計算で原木の剰余と計算結果が合わない．もう少し小さい数でテストしてみることにしよう．⇒どうも，現行のアルゴリズムが間違っている可能性が出てきた．2^^3 mod 47でテストしてみると，原木は超冪原木=16 超冪盆栽=16となっているが，計算結果は４だ．これはかなりおかしい．⇒もうひとつ重要なパラメータとしてexpがあるので，これも配列に収集しておこう．一度ここでバックアップを取ってから開始することにする．

超冪という結構扱いづらい素材が出てきたので，調理してみることにする．久留島喜内で実装しているべき乗剰余数列に関わりがあるので，追加機能としてここに組み込んでみよう．方式を考える．とりあえず，ボタンを一つ追加して，ボタンを押すとα^^e % γ が実行できるようにできればよい．その前にアルゴリズムを定式化しておく必要がある．処理は２段階で実施される．フェーズⅠではべき乗剰余数列を生成して，その周期を取り出してどこかに格納しておく．フェーズⅡではこの周期を取り出して逐次指数を計算し，最後にべき乗を実行してその剰余を計算するという段取りになる．

1. フェーズⅠ
2. 対象整数α，べきの段数ε，剰余演算の除数γが与えられる
3. カウンタ i=0 を初期化し，ｋ=γ, a=α とする
4. #(i)=a%k とする // 次回の基数となる
5. #(i)*%k のべき剰余数列と周期を取り出し＠(i)とする // 次回の除数
6. k = ＠(i), a=#(i)，i++
7. i ≧ε なら終了，ステップ3から繰り返し

1. フェーズⅡ：この処理は再帰関数として実装する
2. CalcPower(depth, base, divisor) as integer
   base = #(depth)，DV=@(depth)
   return base^CalcPower(depth—) % DV
3. 呼び出し：result = CalcPower(ε, α, γ)

さて，べき乗剰余数列を生成しているルーチンを探さなくてはならない．ResidueFuncPro(num As BigInteger, γ As Int64, silent As Boolean)というのがあった．ただし，これには戻り値がない．(num As BigInteger, γ As Int64, silent As Boolean)は戻り値でketaを返している．ketaというのは循環部の桁数だから，剰余数列の周期と一致する．ResidueFuncProで戻り値を返すようにしてしまうのが一番早いのではないだろうか？このプログラムではGUIのパーツを積極的にパラメータとして用いているので，ketaの値はketa_Nに入っているはずだ．

フェーズⅠは大体動くようになった．一番最後の段で#=0になってしまうというのが不審な点だ．@23→@11→@5→まではよいのだが，その後，＠2になるべきところで，@=1になってしまう．基数の方は#2→3→5→4→ と正しく推移している．@は @=a%kで計算されるが，a=5, k=5で割り切れてしまうためだ．いや，解説文の中でも#=5, @=5というタイミングはある．⇒１箇所間違えていた．これで動作するようになった．出力は

B()→2 3 5 4 1
C()→23 11 5 2 1

だ．それはそれでよいのだが，一つかなり奇妙なことが起きているのに気付いた．B，Cともに１になったあと，Bは０，Cは１が連続するようになる．Bは基数でCは除数だ．つまり，この塔は先端に達するとそれ以上成長しなくなるのではないか？

来訪者カウンタが１０００を超えている．おそらくこれが初めてだろう．何が起きているのかよくわからないが，悪い兆候ではないと思う．

久留島喜内の道具箱にまだバグがあるようだ．α=49, ε=1，γ=47で異なる表示が出る場合がある．cycleが ①2,4,8,16,32, 17,34, 21,42, 37, 27,7, 14, 28, 9, 18,36, 25, 3 ,6, 12,24,1,になる場合と，② 25, 3, 6, 12, 24, 1 になる場合だ．⇒いや，多分これはバグではなくてノーマルな表示なのだと思う．つまり，②は①の尻尾の方が見えているというだけだ．操作しても値が変化しない場合にはドラッグしたままの状態になっているということだろう．少なくとも再表示したときには初期表示の状態に戻した方がよい．#桁数を見ればどうなっているのか把握できたはずだ．

午前８時，どうなってるのだろう？どこか壊れてしまった感じ．

加納氏のコメントと投稿も拾っておくことにしよう．これには確率の問題が含まれるが，べき剰余に関係するものもあったはずだ．複素数にからむ問題は（緊急度はそれほど高くないので）将来的な課題という位置付けでよいと思う．包絡線の問題はパスカルの定理やナム三角形に関わってくる可能性があるので，緊急の課題ではないとしても重要課題であることは間違いない．時間が取れれば取り組んでみたいところだが…コンウェイの６角形（コンウェイの定理の拡張）もパスカルの６角形と交差する可能性はあるが，重要度はそれほど高くないと思う．

べき乗剰余和とべき乗剰余マトリックスは「主要テーマ」だが，次回時間が取れるようになるまでお預けとするしかない．これは結局，仕掛りになっている２つの自作ツールを仕上げるということとほぼ同値であり，これらをいつ頃までにリリースできるか？ということは今後のスケジュールに組み込まれなくてはならないだろう．

興味深い課題として，Tak Maki 氏から提案された「べき等」と極限の問題がある．これは多重根号式から派生したものだが，類似問題として2024/01/04のカレンダー問題や，ラマヌージャンが提起した　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/7009754592472964/
https://mathematicsart.com/solved-exercises/solution-by-the-mathematician-srinivasa-ramanujan/?fbclid=IwAR3ONTrxMuA65Y8BSlb09_OKExhoIcm_NvKwAshOgaDFJkND5ohpk4hpElw
がある．

確率の問題は#234で出てきたのが初めてだが，重積分なども必要となるので，将来的な課題ということでよいと思う．「確率は実は面積だというのは本当ですか？」https://jp.quora.com/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AF%E5%AE%9F%E3%81%AF%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E3%81%A0%E3%81%A8%E3%81%84%E3%81%86%E3%81%AE%E3%81%AF%E6%9C%AC%E5%BD%93%E3%81%A7%E3%81%99%E3%81%8B

群の素群分解，フロック分解，極大部分群，置換行列，行列に置換を作用させるなどはアリアドネの糸巻きに含まれるが，相当大きな広がりがある．公理系を定理系で置き換えるというプログラムのスケールも大きい．現実的な課題としては，①ナムの三角形問題が直近の課題であり，次が②ハミルトン閉路問題，③コラッツ予想問題の３つは本年度中に片付けなくてはならない．カテゴリで区分すれば，①初等幾何，②グラフ理論，③数論ということになる．

(A)行列（線形代数），(B)複素数（三角関数，ベクトルを含む），(C)群論（共役など）は（研究課題と言うよりは）学習課題という位置付けでよいと思う．(D)２次曲線は学習課題ではあるが，ホットなテーマでもある．通奏低音は『循環（周期性）』ということになりそうだ．

まず，『オイラーの定理の拡張問題』を片付けておこう．これは，オイラーの定理の逆が成立することを主張する命題だが，どこかにその証明があったはずだ．wikiにも成立すると明記されていたという記事も読んだ記憶がある．

2023年度のAMSカレンダー問題のポイントをまとめた．コメント数が30件を超えるものを対象とし，キーワードなどを拾い出してみた．全部で２３本，それと別に黒木氏が投稿したスレッドから７本をピックアップした．（加納正司氏の投稿に関わるトピックスもあるが，未整理，物理関係は拾わなかった）トピックスは多岐に渡っているが，時間経過とともに発展してきたものもあり，どのような課題が残っているのかを把握しておきたい．一番分かりやすいのは，未解決の命題の形で定式化しておくことではないだろうか？ともかく，懸案項目を列挙してみよう．

1. #016　複素数のべき⇒複素回転，複素反転
2. #047　３次複素方程式の根⇒複素数根の視覚化
3. ※188　FK:2023/02/26　一関市博物館「和算に挑戦」平行線の公理，実験数学，和算三平方の定理，界斜の可動範囲，アルキメデスの楕円コンパス，楕円族の包絡線（アステロイド）図，宿題Ⅲ：楕円コンパス線が楕円の接線になっていること，その接点が包絡線上の点であることが言えればよい
4. #081　コンウェイの定理⇒応用問題Ⅳ：任意の三角形の頂点を各底辺と平行な線で切り取って得られる六角形をここではコンウェイ六角形と呼ぶ．コンウェイ六角形の頂点が一つの円を共有する，つまり共円となるための条件を示せ．この問題はNahmの三角形にも通じる．
5. #093　べき乗剰余⇒べき乗剰余数列の周期性，初項・０項・１項の出現と周期，オイラーの定理の拡張「ある正整数 α が存在し，a^α ≡ 1 mod n となることと，a と n が互いに素であることは同値」
6. ※103　FK:2023/05/04　京都大学の後期試験問題命題：p を任意の素数，n を任意の正整数とする．1～p の n 乗（p 個の整数）の和を p で除したときの剰余を R(p, n) とすると，R(p, n) = { Σ{k=1→p} k^n } mod p．このとき，R(p, n) = p – 1 if (n mod p – 1 ≡ 0) else R(p, n) = 0，べき乗和剰余数列の周期が p-1 であることの証明，べき乗和剰余列の類別，べき剰余マトリックスの縦数列，横数列の性質：①周期性，②回文性，③異種文字数　　
7. #186　ネストした多重根号式⇒べき等が関係するのではないかという予想，べき剰余数列にも関係する，落伍項　⇒　ラマヌージャンの問題他
8. #234　列車A,B,C　確率論，面積積分
9. ※59　FK:2023/09/15　S3の置換 に3次正方行列(要素(0,1)の置換行列を対応させる，行列に置換を作用させる，置換行列の行列式は対応する置換の符号に等しい，一般線形群，交差しない閉路の集合であるようなグラフ　
10. #269　３元１次連立方程式⇒逆行列を左から掛ける
11. #272　無向グラフの半径⇒フロイド・ライプネッツのアルゴリズム，フロイド・ワーシャル法
12. ※48　FK:2023/10/01　今日はNHKのまわし者　確率論，モンティ・ホール問題，マリリン・サヴァントの解，ねじれの位置，非ユークリッド幾何学，コラッツ予想，数論が崩れる，光の木
13. #283　交代群A5の極大部分群の位数⇒ドミノ・アルゴリズム（すべての部分群を高速生成）群とタイル貼りの関係，極大部分群の取り出し
14. ※50　FK:2023/11/05　対称群Snの共役について　τ^(-1)=[[τ(1),τ(2),…,τ(n)][1,2,…,n]]　産まれたときから婚約者が決まっている，有限性の檻，任意の群において元の置換表現を割り出すことは可能か？，「有限単純群分類」の終了宣言（1980年初め），極大部分群の共通部分（フラッティーニ部分群）
15. ※43　FK:2023/11/10 対称群Snの共役について(再)　フロック（部分群を構成する場合に不可分な元の集合），アリアドネの糸巻き　素群，素数位数の群
16. #331　三角形の周長⇒ナムの課題，ナムの課題の拡張

ナムの三角形に関係して投稿したスレッドが出てきていない．これらを落とすことはできない… AMSのカレンダー問題とは独立だが，拾い出しておこう．とりあえず，３本ある．

1. 2023/12/07 ※136 初等幾何の問題です．三角形ABCとそれに交叉する円があり　⇒　ナムの第一三角形，ナムの第二三角形，パスカルの定理とブリアンションの定理，GeoGebra，ブライケンリッジ・マクローリンの定理，60本のパスカル線，60個のカークマン点，20個のシュタイナー点，20本のケーリー線，15個のソロモン点，15本のプラッカー線，米澤晋吾の神図，pencil，射影幾何学，Perfect Pacal Mysticum Points，コンウェイのThe Pascal Mysticum Demystified，Desargues, Pascal and Kirkman（対称群S6と六芒星図）https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6934878979960526/
2. 2023/12/15 ※３　米澤晋吾氏作成の神図（神秘のM点図）パスカルの神秘なる六芒星図　　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6934878979960526/
3. 2023/12/16 ※10 射影幾何：大学初年級の授業で最初につまづいたところ．　連比，斉次座標　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6932400156875075/

大体これで出揃ったのではないだろうか？当面の方針・課題をピックアップしてみる．

1. パスカルの六芒星図に出てくる60本のパスカル線，60個のカークマン点，20個のシュタイナー点，20本のケーリー線，15個のソロモン点，15本のプラッカー線を確認する
2. GeoGebraでナムの三角形が圏外でも描画できるように改作する
3. トリプル三角形の神秘点図（パスカルの定理の拡張）を証明する
4. オイラーの定理の拡張「ある正整数 α が存在し，a^α ≡ 1 mod n となることと，a と n が互いに素であることは同値である」を証明する
5. 複素数のべき⇒複素回転，複素反転の概念を確立する
6. ３D描画ツール・アニメツールを使いこなす
7. 楕円族（２次曲線）の包絡線図を研究する　⇒　「平面上の６本の直線で区切られた領域の最大個数問題」
8. コンウェイの６角形はパスカルの６角形とどこかで結びつくか？コンウェイのフリーズパターンとべき剰余マトリックスの周期性
9. 確率論を掘り下げる：面積積分・重積分
10. 群とタイル貼りの関係，ドミノ・アルゴリズム
11. べき乗和剰余数列の周期・類別，べき剰余マトリックスの縦数列，横数列の性質：①周期性，②回文性，③異種文字数⇒久留島喜内の道具箱
12. 極大部分群・素群概念の確立・素群分解⇒アリアドネの糸巻き
13. ハミルトン閉路問題の多項式時間アルゴリズム：floyd leibniz algorithm，フロイド・ワーシャル法⇒アリアドネの糸巻き
14. コラッツ予想問題の最終解決⇒コラッツ銀河高速道路

一つ見落としがあった．2023/04/22 #112に「平面上の６本の直線で区切られた領域の最大個数という問題」というのがあり，これらの直線がある種の包絡線を構成している．この構成では２次曲線にはまったく言及されていない．この意味ではパスカルの六芒星図の大幅な拡張（ないし特殊例）とみなすこともできる．この問題はオイラーの多面体定理を用いて解いている．包絡線とは「二直線の交点を他の直線と共有しないような図式」であり，「二直線の交点が他の直線と共有されない」ということは，この図面がある種の「界面」つまり，IF (interface) を表していることを意味する．

カーマイケル数はオイラーの定理の拡張とは関わりがない．

1. #010 ※35　三角関数の入った２次の分数式の積分　arctanの微分が出てくる，黒木氏がWolframなどを活用して完璧な解を提出
2. #016 ※41　複素数のべき　複素数の積は偏角の和，LibreOfficeを使った数式入力，オイラーの公式，オイラーの等式，黒木氏による複素反転(z%=-z*)の発見 複素数z=a+bi，zの複素共役a-bi=z*とする．複素平面の原点を通り実軸となす角度がθであるような直線φに対し，zの対称点となる点をzΦとする．このとき，α=cosθ+isinθとして，zΦ=(z*)α^2である（複素回転）．θ=0，α^2=1のとき，zΦはzの複素共役z*である．z*の符号を反転したものをz%と表記し，z%=-z*をzの複素対称と呼ぶ．θ=π/2のとき，zΦは虚軸に対称な点となり，このときα^2=-1であることから，zΦ=-z*=z%（複素対称）である．(z*)^n=(z^n)*であることは知られているが，(z%)^n=(z^n)%．
3. #035 ※30　フィボナッチ数はピタゴラストリプル　F_(n)^2 + F_(n+1)^2 = F_(2n+1)　問題文の解釈で紛糾した　タイル貼りとフィボナッチ数列
4. #046 ※48　15^113 mod 113　フェルマーの小定理，二項定理，合同式の四則演算 maximaの使用
5. #047 ※69　３次複素数方程式の根　極形式による解，因数分解による解，複素数根の３D視覚化，円分体，根と解の違い　「複素方程式の根（解）とは，その複素多項式の絶対値をゼロにするような点である」
6. #061 ※43　ベクトルの張る部分空間の次元　行列の基本変換，ベクトルの差分を手計算，ベクトルの合成，一次結合
7. #081 ※62　コンウェイの円の弦長を求める　コンウェイの円の定理　高崎晶平，Fukuzo Kuroki，
8. #093 ※120　3^2023^2023 mod 7　合同式の指数計算，べき乗の剰余数列の周期性予想，久留島・オイラーの公式，ここからべき乗剰余マトリックスに発展　予測：正整数ｎのべき乗の正整数ｋによる剰余が生成する数列は周期性を持つ．周期のパターンには①有限個(<k)の非ゼロ項のあと，無限に０が続くパターン，②１が出現する周期数列，③１が出現しない周期数列がある．
   　
   補題Ⅰ：べき乗の剰余数列で {0} 項が現れるのはどのような場合か？⇒n^φ mod k ≡ 0 となるためには，n が k の素因数をすべて含んでいなくてはならない
   　
   補題Ⅱ：べき乗の剰余数列の初項 a_1 ≡ a とするとき，数列が { 0, 0, … , 0 } に縮退する場合を除いて，初項 a を含まない周期数列は存在するか？⇒無数に存在するが，(n, k) を n と k の GCD として，初項 a mod (n, k) ≡ 0 の場合に限られている？　⇒　補題Ⅳ　⇒反例あり
   　
   補題Ⅲ：べき乗の剰余数列において，n と k が互いに素⇔剰余数列に{1}が現れる　⇒　成立しているように思われる，つまり，gcd(n, k) ≠ 1 の場合には，n^φ mod k ≡/≡ 1　⇒　宿題２：オイラーの拡張定理
   　
   落伍項　⇒　ｋの素因数がべきになっている場合には（ｎとは関わりなく）落伍項が生じる
9. #109 ※37　半円に内接する円の半径　和算数能極形術
10. #118 ※36　(x^2 + y^2) / (x – y)が 1995 を整除するような (x, y) の対の個数　全探索アルゴリズムを書いて解いた
11. #121 ※36　区間が三角関数で指定されるような無理式の定積分を微分する　不定積分の微分を求める　出題にミスあり
12. #163 ※33　長方形を折って３つの直角三角形を作る，３つの直角三角形の面積は等差数列をなす　８次方程式になる　
13. #181 ※48　一般項が三角関数で表示されるような数列の極値　周期関数の収束　
14. #186 ※35　√(6√(6√(6)…))　ｘ：＝√（６ｘ），積の形に変形する　べき等問題に発展
15. #197 ※29　8^2023 mod 55　べき剰余周期はべき基数の値によらず
16. #203 ※33　数列要素の推定問題　等差数列，回文，計算マジック
17. #215 ※215　四元数の部分群の自己同型クラスの個数 三次元の回転，自作ツールで部分群分解，SageMath
18. #234 ※44　列車A, B, CのうちAの先着確率　ABCルーレット法
19. #269 ※31　３元１次連立方程式　クラメルの公式，行列の基本変形⇄行列ｘ置換行列，ガウスの消去法（掃き出し法），逆行列を左から掛け
20. #272 ※73　無向グラフの半径　⇒　フロイド・ライプネッツアルゴリズム→フロイド・ワーシャル法
21. #283 ※164　交代群A5の極大部分群の位数　GAP，ラグランジュの定理，部分群検定から発展してアリアドネの糸巻きに到達，Domino アルゴリズム，S4の極大な部分群（位数12）は「二乗関係の接続木から終端ノード（葉）を取り除いたもの
22. #284 ※20　三角形の面積　代理投稿，メネラウスの定理
23. #331 ※22　 三角形の周長を求める　２接線は等長，ナムの課題，ナムの補題（垂線による正三角形の辺の等分割，ナムの課題の拡張

２０２３年AMSカレンダーの続きをやろう．とりあえず，コメント数が３０を超えているものをピックアップしてみる．

1. 2023/01/10 #010 ※35　三角関数の入った２次の分数式の積分　分数関数の積分，arctanの微分=1/(x^2+1)　異儀田幸成，Fukuzo Kuroki，高崎晶平，Hamody AlFaisal，محمود اسماعيل　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/5770739793041123/
2. 2023/01/16 #016 ※41　複素数のべき　極座標で計算，数値解，複素回転，複素反転，オイラーの公式　三浦仁志，Fukuzo Kuroki，大橋弘樹，さかいおさむ，ティーティーエス　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/5789512174497218/
3. 2023/02/04 #035 ※30　フィボナッチ数はピタゴラストリプル　F_(n)^2 + F_(n+1)^2 = F_(2n+1)　高崎晶平，山本幸生，Fukuzo Kuroki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5846805968767838/
4. 2023/02/15 #046 ※48　15^113 mod 113　フェルマーの小定理，二項定理，合同式の四則演算　Fukuzo Kuroki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5881292788652489/
5. 2023/02/16 #047 ※69　３次複素数方程式の根　極形式による解，因数分解による解，複素数根の視覚化　山本幸生，Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/5885026371612464/
6. 2023/03/02 #061 ※43　ベクトルの張る部分空間の次元　行列の基本変換，ベクトルの差分を手計算，ベクトルの合成　山本幸生，さかいおさむ，Fukuzo Kuroki，Tomoyuki Suzuki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5929420040506430/
7. 2023/03/22 #081 ※62　コンウェイの円の弦長を求める　コンウェイの円の定理　高崎晶平，Fukuzo Kuroki，https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5997925576989209/
8. 2023/04/03 #093 ※120　3^2023^2023 mod 7　合同式の指数計算，久留島・オイラーの公式，ここからべき乗剰余マトリックスに発展　（深町眞理子），Fukuzo Kuroki，大橋善和，Noureddine Mohiti，Andrey Zharkikh　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6031847776930322/
9. 2023/04/19 #109 ※37　半円に内接する円の半径　和算数能極形術　Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6081452098636556/
10. 2023/04/28 #118 ※36　(x^2 + y^2) / (x – y)が 1995 を整除するような (x, y) の対の個数　全探索アルゴリズムを書いて解いた　伴公伸，Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6110626442385788/
11. 2023.05.01 #121 ※36　区間が三角関数で指定されるような無理式の定積分を微分する　不定積分の微分を求める　山本幸生，Fukuzo Kuroki，高崎晶平，　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6120477611400671/
12. 2023/06/12 #163 ※33　長方形の内部にある三角形の面積，３つの直角三角形の面積は等差数列をなす　Fukuzo Kuroki  maxima を使って解いた　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6263235843791513/
13. 2023/07/01 #181 ※48　一般項が三角関数で表示されるような数列の極値　周期関数の収束　高崎晶平，Tomoyuki Suzuki，Fukuzo Kuroki，さかいおさむ　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6332891830159247/
14. 2023/07/06 #186 ※35　√(6√(6√(6)…))　ｘ：＝√（６ｘ），積の形に変形する　山本幸生，Tak Maki，Norio Iriyama　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6345168905598206/
15. 2023/07/17 #197 ※29　8^2023 mod 55　べき剰余数列の最大周期Χ　Fukuzo Kuroki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6379866452128451/
16. 2023/07/23 #203 ※33　数列要素の推定問題　Tak Maki，関勝寿，位田敏和，加納正司　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6398429330272163/
17. 2023/08/04 #215 ※215　四元数の部分群の自己同型クラスの個数 自作ツールで部分群分解　Fukuzo Kuroki，Tak Maki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6474031636045265/
18. 2023/08/23 #234 ※44　列車A, B, CのうちAの先着確率　ABCルーレット法　加納正司，Tik Maki，　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6521535404628221/
19. 2023/09/27 #269 ※31　３元１次連立方程式　クラメルの公式，行列の基本変形⇄行列ｘ置換行列，ガウスの消去法（掃き出し法），逆行列を左から掛ける　Fukuzo Kuroki，村岡仁実　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/permalink/6631820833599677/
20. 2023/10/01 #272 ※73　無向グラフの半径を求める．ここからフロイド・ライプネッツアルゴリズムという展開になる　Fukuzo Kuroki，Motohiro Takahara　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6647602418688185/
21. 2023/10/12 #283 ※164　交代群A5の極大部分群の位数　ラグランジュの定理　Fukuzo Kuroki　部分群検定から発展してアリアドネの糸巻きに到達　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6687486251366468/
22. 2023/10/14 #284 ※20　三角形の面積　メネラウスの定理　村岡仁実，高崎晶平　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6699404993507927/
23. 2023/11/30 #331 ※22　 三角形の周長を求める，ここからナムの課題に発展　Nhảm，Tomoyuki Suzuki　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6874150346033390/

1. 2023/02/26 ※188　一関市博物館「和算に挑戦」2022年度問題③を改題。　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/5920897928025308/
2. 2023/05/04 ※103 京都大学の後期試験問題　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6131697793611986/
3. 2023/09/15 ※59　S_{3}の置換 に3次の正方行列(要素(0,1))を対応させると、　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6587241404724287/
4. 2023/10/01 ※48　今日はNHKのまわし者(^_^;　(^_^;ちゃいけないか？　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6647828078665619/
5. 2023/11/05 ※50 対称群Snの共役について、 2冊の本の解説をみました　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6783914031723689/　
6. 2023/11/10 ※43　対称群Snの共役について(再)　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6802031046578654/
7. 2023/12/21 ※35　1221,今日は回文の日.回文とは,　https://www.facebook.com/groups/2354748741306929/posts/6953180971463660/

５月分に重複があったので，削ったら１件不足が発生してしまった．#125が落ちている．2023/05/05だ．#128も落ちている．2023/05/08．６月分が１つ紛れ込んでいた．今度は６月が３１件になってしまった．「６月５日」というのは５月で重複していた分だ．